如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．（1）求*：是的平分线；（2）四边形的...

问题详情：

如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．

（1）求*：是的平分线；

（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．

【回答】

(1)详见解析；(2)是， ；(3)

【分析】

(1)根据等弧对等角的*质*即可；

(2)延长DA到E,让AE=DB,*△EAC≌△DBC,即可表示出S的面积；

(3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称*推出在等腰△D1CD2中,t=，D与O、C共线时t取最大值即可算出．

【详解】

(1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC，

∴,都为圆，

∴∠AOC=∠BOC=120°，

∴∠ADC=∠BDC=60°，

∴DC是∠ADB的角平分线．

(2)是．

如图，延长DA至点E，使得AE=DB．

连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．

∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，

∴△EAC≌△DBC(SAS)，

∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，

故△EDC是等边三角形，

∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊*可知DC边上的高为

∴．

(3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称*

C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．

∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2,

由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,

∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．

∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，

在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，

则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，

同理D2H=

∴t=D1D2=．

∴x取最大值时,t取最大值．

即D与O、C共线时t取最大值,x=4．

所有t值中的最大值为．

【点睛】

本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量．

知识点：正多边形和圆

题型：解答题