如图,,,点A在上,四边形是矩形,连接、交于点E,连接交于点F.下列4个判断:①平分;②;③;④若点G是线段的...
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如图,,,点A在上,四边形是矩形,连接、交于点E,连接交于点F.下列4个判断:①平分;②;③;④若点G是线段的中点,则为等腰直角三角形.正确判断的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【回答】
A
【解析】①,先说明△OBD是等腰三角形,再由矩形的*质可得DE=BE,最后根据等腰三角形的*质即可判断;②*△OFA≌△OBD即可判断;③过F作FH⊥AD,垂足为H,然后根据角平分线定理可得FH=FA,再求得∠HDF=45°,最后用三角函数即可判定;④连接AG,然后*△OGA≌△ADE,最后根据全等三角形的*质和角的和差即可判断.
【详解】解:①∵
∴△OBD是等腰三角形
∵四边形是矩形
∴DE=BE=BD,DA⊥OB
∴平分,OE⊥BD故①正确;
②∵OE⊥BD, DA⊥OB,即∠DAO=∠DAB
∴∠EDF+∠DFE=90°,∠AOF+∠AFO=90°
∵∠EDF=∠AOF
∵DA⊥OB,
∴OA=AD
在△OFA和△OBD中
∠EDF=∠AOF ,OA=AD,∠DAO=∠DAB
∴△OFA≌△OBD
∴OF=BD,即②正确;
③过F作FH⊥AD,垂足为H,
∵平分,DA⊥OB
∴FH=AF
∵,DA⊥OB
∴∠HDF=45°
∴sin∠HDF=,即;故③正确;
④由②得∠EDF=∠AOF,
∵G为OF中点
∴OG=OF
∵DE=BE=BD,OF=BD
∴OG=DE
在△OGA和△AED中
OG=DE, ∠EDF=∠AOF,AD=OA
∴△OGA≌△AED
∴OG=EF,∠GAO=∠DAE
∴△GAE是等腰三角形
∵DA⊥OB
∴∠OAG+∠DAG=90°
∴∠DAE+∠DAG =90°,即∠GAE=90°
∴△GAE是等腰直角三角形,故④正确.
故*为A.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与*质、矩形的*质、等腰三角形的判定与*质、角平分线的*质以及解直角三角形等知识点,考查知识点较多,故灵活应用所学知识成为解答本题的关键.
知识点:解直角三角形与其应用
题型:选择题