在矩形中，点E是*线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F．（1）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正...

问题详情：

在矩形中，点E是*线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F．

（1）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．

①如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是________，位置关系是_________；

②如图2，若点E在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予*；如果不成立，请说明理由；

（2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，，，求的最小值．

【回答】

（1）①相等；垂直；②成立，理由见解析；（2）

【解析】

（1）①*△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再*四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果；

②根据（1）中同样的*方法求*即可；

（2）说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x，*△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值．

【详解】

解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，

∵AE⊥BF，

∴∠CBF+∠AEB=90°，

∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴BE=CF，AE=BF，

∵△FCH为等腰直角三角形，

∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，

∴FH∥BC，

∴四边形BEHF为平行四边形，

∴BF∥EH且BF=EH，

∴AE=EH，AE⊥EH，

故*为：相等；垂直；

②成立，理由是：

当点E在线段BC的延长线上时，

同理可得：△ABE≌△BCF（AAS），

∴BE=CF，AE=BF，

∵△FCH为等腰直角三角形，

∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，

∴FH∥BC，

∴四边形BEHF为平行四边形，

∴BF∥EH且BF=EH，

∴AE=EH，AE⊥EH；

（2）∵∠EGF=∠BCD=90°，

∴C、E、G、F四点共圆，

∵四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点，

∴M也是EF中点，

∴M是四边形BCHF外接圆圆心，

则GM的最小值为圆M半径的最小值，

∵AB=3，BC=2，

设BE=x，则CE=2-x，

同（1）可得：∠CBF=∠BAE，

又∵∠ABE=∠BCF=90°，

∴△ABE∽△BCF，

∴，即，

∴CF=，

∴EF=

=

=，

设y=，

当x=时，y取最小值，

∴EF的最小值为，

故GM的最小值为．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和*质，相似三角形的判定和*质，平行四边形的*质，二次函数的最值，圆的*质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键．

知识点：相似三角形

题型：综合题