在等腰中,,点D,E在*线上,,过点E作,交*线于点F.请解答下列问题: (1)当点E在线段上,是的角平分线时...
问题详情:
在等腰中,,点D,E在*线上,,过点E作,交*线于点F.请解答下列问题:
(1)当点E在线段上,是的角平分线时,如图①,求*:;(提示:延长,交于点M.)
(2)当点E在线段的延长线上,是的角平分线时,如图②;当点E在线段的延长线上,是的外角平分线时,如图③,请直接写出线段,,之间的数量关系,不需要*;
(3)在(1)、(2)的条件下,若,则___________.
【回答】
(1)见解析;(2)BC=AE+CF或AE=CF+BC;(3)18或6.
【解析】(1)延长,交于点M.利用AAS*,得到ME=BC,并利用角平分线加平行的模型*CF=MF,AE=EF,从而得*;
(2)延长,EF交于点M.类似于(1)的方法可*当点E在线段的延长线上,是的角平分线时,BC=AE+CF,当点E在线段的延长线上,是的外角平分线时,AE=CF+BC;
(3)先求出AE,AB,即可利用线段的和差求出*.
【详解】(1)如图①,延长,交于点M.
∵,
∴∠A=∠BCA=∠EFA,
∴AE=EF
∴
∴∠MED=∠B, ∠M=∠BCD
又∵∠FCM=∠BCM,
∴∠M=∠FCM
∴CF=MF
又∵BD=DE
∴
∴ME=BC
∴CF=MF=ME+EF=BC+AE
即AE+BC=CF;
(2)当点E在线段的延长线上,是的角平分线时,BC=AE+CF,
如图②,延长,EF交于点M.
由①同理可*,
∴ME=BC
由①*过程同理可得出MF=CF,AE=EF,
∴BC=ME=EF+MF=AE+CF;
当点E在线段的延长线上,是的外角平分线时,AE=CF+BC.
如图③,延长交EF于点M,
由上述*过程易得,BC=EM,
CF=FM,
又∵AB=BC,
∴∠ACB=∠CAB=∠FAE
∵
∴∠F=∠FCB,
∴EF=AE,
∴AE=FE=FM+ME=CF+BC
(3)CF=18或6
当DE=2AE=6时,图①中,由(1)得:AE=3,BC=AB=BD+DE+AE=15,
∴CF=AE+BC=3+15=18;
图②中,由(2)得:AE=AD=3,BC=AB=BD+AD=9,
∴CF=BC-AE=9-3=6;
图③中,DE小于AE,故不存在.
故*为18或6.
【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题,关键是添加恰当的辅助线,构建角平分线加平行的模型,是一道较好的中考真题.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题