如图,矩形中,,,现以矩形的边为轴,的中点 为原点建立直角坐标系,是轴上方一点,使得、与线段分别交于点...
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问题详情：
如图, 矩形
中, 
, 
, 现以矩形的
边为
轴, 
的中点
为原点建立直角坐标系, 
是轴上方一点, 使得
、
与线段
分别交于点
、
,
且
成等比数列.
(1) 求动点的轨迹方程；
(2) 求动点
到直线
距离
的最大值及取得最大值时点的坐标．
【回答】
解：（1）设点
的坐标为
，过作
交
的延长线于
，交
的延
长线于
.
在
中, 
, 得
，
得
.
在
中, 
,
得
.
同理可得
.
∵ 
成等比数列，
∴ 
.
∴ 
.
化简得
.
∴ 动点的轨迹方程为
.
(2)由图易知当与直线
平行的直线与半椭圆相切于点时，点
到直线距离的最大.
设与直线
平行的直线方程为
，代入
，
得 
，①
由
，
解得
，由
，得
.
故点到直线
距离的最大值为
.
把
代入①式，可解得点的坐标为
.
知识点：数学竞赛
题型：综合题
