已知实数，函数，．（1）讨论函数的单调*；（2）若是函数的极值点，曲线在点，处的切线分别为，且在轴上的截距分别...
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问题详情：
已知实数
，函数
，
．
（1）讨论函数
的单调*；
（2）若
是函数
的极值点，曲线
在点
，
处的切线分别为
，且
在
轴上的截距分别为
．若
，求
的取值范围．
【回答】
（1）当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；（2）
．
【分析】
（1）求导后得
；分别在
和
两种情况下，根据
的符号可确定
的单调*；
（2）由极值点定义可构造方程求得
，得到
和
；根据导数的几何意义可求得在
处的切线方程，进而求得
；由
可求得
的关系，同时确定
的取值范围；将
化为
，令
，
，利用导数可求得
的单调*，进而求得
的值域即为
的范围.
【详解】
（1）
.
，
，
.
①当
，即
时，
，
在
上单调递减；
②当
，即
时，
当
时，
；当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述：当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）
是
的极值点，
，即
，
解得：
或
（舍），此时
，
.
方程为：
，
令
，得：
；同理可得：
.
，
，整理得：
，
，
又
，则
，解得：
，
.
令
，则
，
设
，
，
在
上单调递增，又
，
，
，
即
的取值范围为
.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调*、极值点的定义、导数的几何意义、利用导数求解参数的取值范围等问题；关键是能够通过构造函数的方式将所求式子的范围转化为函数值域的求解问题.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
