已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．
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问题详情：
已知函数
，
．
（1）当
为何值时，
轴为曲线
的切线；
（2）用
表示
中的最小值，设函数
，讨论
零点的个数．
【回答】
（Ⅰ）
；（Ⅱ）当
或
时，
由一个零点；当
或
时，
有两个零点；当
时，
有三个零点.
【详解】
试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的
值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与*质将
分为
研究
的零点个数，若零点不容易求解，则对
再分类讨论.
试题解析：（Ⅰ）设曲线
与
轴相切于点
，则
，
，即
，解得
.
因此，当
时，
轴是曲线
的切线.
（Ⅱ）当
时，
，从而
，
∴
在（1，+∞）无零点.
当
=1时，若
，则
，
,故
=1是
的零点；若
，则
，
,故
=1不是
的零点.
当
时，
，所以只需考虑
在（0,1）的零点个数.
（ⅰ）若
或
，则
在（0,1）无零点，故
在（0,1）单调，而
，
，所以当
时，
在（0，1）有一个零点；当
0时，
在（0，1）无零点.
（ⅱ）若
，则
在（0，
）单调递减，在（
，1）单调递增，故当
=
时，
取的最小值，最小值为
=
.
①若
＞0，即
＜
＜0，
在（0,1）无零点.
②若
=0，即
，则
在（0,1）有唯一零点；
③若
＜0，即
，由于
，
，所以当
时，
在（0,1）有两个零点；当
时，
在（0,1）有一个零点.…10分
综上，当
或
时，
由一个零点；当
或
时，
有两个零点；当
时，
有三个零点.
考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想
知识点：导数及其应用
题型：解答题
