如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段D1O的上一点．（1）若E为D1...
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如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段D1O的上一点．
（1）若E为D1O的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；
（2）能否存在点E使得平面CDE上平面CD1O，若能，请指出点E的位置关系，并加以*；若不能，请说明理由．
【回答】
解：不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）．
（1）因为点E是D1O的中点，
所以点E的坐标为
．
所以
，
，
．
设
是平面CDE的法向量，则
即
，
取x＝2，则z＝－1，所以平面CDE的一个法向量为
．
所以
．
所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为
．
（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设
．
显然
，
．
设
是平面CD1O的方向量，则
，即
．
取x＝1，则y＝1，z＝1，所以平面CD1O的一个法向量为
．
因为
，所以点E的坐标为
．
所以
，
．
设
是平面CDE的法向量，则
即
．
取x＝1，则
，所以平面CDE的一个法向量为
．
因为平面CDE⊥平面CD1O，所以
，即
，
，解得λ＝2．
所以λ的值为2．即当
时，平面CDE⊥平面CD1O．
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：解答题
