已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点,.(1)求圆的圆心坐标;(2)求线段的中点的轨迹的方程;(3)是否存在...
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问题详情:
已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点,.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点的轨迹的方程;
(3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
【回答】
(1);(2);(3)存在,或.
【分析】
(1)通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论;(2)设当直线的方程为y=kx,通过联立直线与圆的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论;(3)通过联立直线与圆的方程,利用根的判别式△=0及轨迹的端点与点(4,0)决定的直线斜率,即得结论
【详解】
(1)由得,
∴ 圆的圆心坐标为;
(2)设,则
∵ 点为弦中点即,
∴即,
∴ 线段的中点的轨迹的方程为;
(3)由(2)知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧(如下图所示,不包括两端点),且,,又直线:过定点,
当直线与圆相切时,由得,又,结合上图可知当时,直线:与曲线只有一个交点.
考点:1.轨迹方程;2.直线与圆相交的位置关系;3.圆的方程
知识点:圆与方程
题型:解答题