如图,四边形ABCD是菱形,EA⊥平面ABCD,EF∥AC,CF∥平面BDE,G是AB中点.(1)求*:EG∥...
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如图,四边形ABCD是菱形,EA⊥平面ABCD,EF∥AC,CF∥平面BDE,G是AB中点.
(1)求*:EG∥平面BCF;
(2)若AE=AB,∠BAD=60°,求二面角A-BE-D的余弦值.
【回答】
(1)*设AC∩BD=O,连接OE,OF.
∵四边形ABCD是菱形,EA⊥平面ABCD,EF∥AC,CF∥平面BDE,
∴OE∥CF,∴EF=AO=CO,
∴OF⊥平面ABCD.
设OA=a,OB=b,AE=c,以O为原点,OA,OB,OF所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则E(a,0,c),G
,0
,B(0,b,0),C(-a,0,0),F(0,0,c).
=(0,b,-c),
=(-a,0,-c),
=
-
,-
,-c
,
设平面BCF的法向量为n=(x,y,z),则
取z=b,得n=
-
,c,b
,
∵n
=
-
·
-
+
c+(-c)·b=0,
∴EG∥平面BCF.
(2)解设AE=AB=2,∵∠BAD=60°,
∴OB=1,OA=
,
∴A(
,0,0),B(0,1,0),E(
,0,2),D(0,-1,0),
=(
,-1,2),
=(
,-1,0),
=(0,-2,0).
设平面ABE的法向量n=(x,y,z),
则
取x=1,得n=(1,
,0),
设平面BDE的法向量m=(x,y,z),
则
取x=2,得m=(2,0,-
),
设二面角A-BE-D的平面角为θ,则cosθ=
∴二面角A-BE-D的余弦值为
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：解答题
