如图,在直角坐标系中,已知点B(4,0),等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y=的图象上.(1)求反比例函数...
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如图,在直角坐标系中,已知点B(4,0),等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y=的图象上.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)把△OAB向右平移a个单位长度,对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时,求a的值.
【回答】
【分析】(1)过点A作AC⊥OB于点C,根据等边三角形的*质得出点A坐标,用待定系数法求得反比例函数的解析式即可;
(2)分两种情况讨论:①反比例函数图象过AB的中点;②反比例函数图象过AO的中点.分别过中点作x轴的垂线,再根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标,代入反比例函数的解析式得出中点坐标,再根据平移的法则得出a的值即可.
【解答】解:(1)过点A作AC⊥OB于点C,
∵△OAB是等边三角形,
∴∠AOB=60°,OC=OB,
∵B(4,0),
∴OB=OA=4,
∴OC=2,AC=2.
把点A(2,2)代入y=,得k=4.
∴反比例函数的解析式为y=;
(2)分两种情况讨论:
①点D是A′B′的中点,过点D作DE⊥x轴于点E.
由题意得A′B′=4,∠A′B′E=60°,
在Rt△DEB′中,B′D=2,DE=,B′E=1.
∴O′E=3,
把y=代入y=,得x=4,
∴OE=4,
∴a=OO′=1;
②如图3,点F是A′O′的中点,过点F作FH⊥x轴于点H.
由题意得A′O′=4,∠A′O′B′=60°,
在Rt△FO′H中,FH=,O′H=1.
把y=代入y=,得x=4,
∴OH=4,
∴a=OO′=3,
综上所述,a的值为1或3.
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式,掌握直角三角形、等边三角形的*质以及分类讨论思想是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:解答题