已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的*记为．  （1）若数列通项公式为，求*：；  （2）若数列是...

问题详情：

已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的*

记为．

   （1）若数列通项公式为，求*：；

   （2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；

（3）设，数列的各项均为正数，且．问数列中是否存在

无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由．

【回答】

解:（1）因为，所以，            …… 2分

所以，

所以，即．                                   …… 4分

（2）设的公差为，

因为，所以（*），

特别的当时，，即，                       …… 6分

由（*）得，

整理得，

因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，       

又，所以，                                         …… 8分

于是，即，

所以，即，

所以，

因此的取值范围是．                             …… 10分

（3）由得，所以，即，

所以，从而有，     

又，所以，即，

又，，

所以有，所以，                  …… 12分

假设数列（其中）中存在无穷多项依次成等差数列，

不妨设该等差数列的第项为(为常数)，

则存在，，使得，

即，                                         …… 14分

设，

则，即，

于是当时，，

从而有：当时，即，

于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，

因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列．            …… 16分

知识点：数列

题型：解答题