如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4)，连接AC...

问题详情：

 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4)，连接AC，BC.

(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，PA＝QA?

(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

第4题图

【回答】

解：(1)∵直线y＝－2x＋10与x轴、y轴相交于A、B两点，

∴A(5，0)，B(0，10)，

设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx(a≠0)，

把点A(5，0)和C(8，4)代入可得，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2－x；

∵A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，

∴AB2＝125，AC2＝25，BC2＝100，

∵AB2＝AC2＋BC2，

∴△ABC是直角三角形．

(2)如解图，连接AP，AQ，当P，Q运动t秒，即OP＝2t，CQ＝10－t，

第4题解图

在Rt△AOP和Rt△ACQ中，

，

∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，

∴OP＝CQ，

∴2t＝10－t，

∴t＝，

∵t<5，

∴当运动时间为秒时，PA＝QA；

(3)存在．

由题可得，抛物线的对称轴直线为x＝，

设点M的坐标为( ，b)，

利用点的坐标可求得

AB2＝102＋52＝125，

MB2＝()2＋(b－10)2，

MA2＝()2＋b2，

∵△MAB是等腰三角形，

∴可分以下三种情况讨论：

①当AB＝MA时，即125＝()2＋b2，

解得b＝±，

即点M的坐标为(，)或(，－)；

②当AB＝BM时，即125＝()2＋(b－10)2，

解得b＝10±，

即点M的坐标为(，10＋)或(，10－)；

③当MB＝MA时，即()2＋(b－10)2＝()2＋b2，

解得b＝5，此时点A、M、B共线，故这样的点M不存在．

综上所述，存在点M，使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为(，)或(，－)或(，10＋)或(，10－)．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题