如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m).(1)...

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如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于AB两点,与直线y=2x交于点M(1,m).

(1)求mb的值;

(2)已知点N,点M关于原点O对称,现将线段MN沿y轴向上平移s(s>0)个单位长度.若线段MN与抛物线有两个不同的公共点,试求s的取值范围;

(3)利用尺规作图,在该抛物线上作出点G,使得∠AGO=∠BGO,并简要说明理由.(保留作图痕迹)

如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m).(1)...

【回答】

解:(1)把M(1,m)代入y=2x得m=2×1=2,

把M(1,2)代入y=-x2+bx+2得2=-12+b+2,即b=1;

(2)由(1)得y=-x2+x+2,M(1,2),

因为点N,点M关于原点O对称,所以N(-1,-2),

如解图①,过点N作CN⊥x轴,交抛物线于C,则C的横坐标为-1,

所以C的纵坐标为-(-1)2+(-1)+2=0,

如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m).(1)... 第2张

第25题解图①

所以C(-1,0)与A重合,

则CN=AN=2,即当s=2时线段MN与抛物线有两个公共点,

设平移后的直线表达式为y=2x+s,

如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m).(1)... 第3张得x2+x+s-2=0,

由Δ=12-4(s-2)=0,得s=如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m).(1)... 第4张

即当s=如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m).(1)... 第5张时,线段MN与抛物线只有一个公共点,

所以,当线段MN与抛物线有两个公共点时,s的取值范围为2≤s<如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m).(1)... 第6张

(3)如解图②,在x轴上取一点P(-2,0),以P为圆心,OP为半径作圆,⊙P与抛物线的交点,即是所求作的点G(解图②中的G与G′),

理由:

如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m).(1)... 第7张

第25题解图②

当点G在x轴上方时,由作图可知,PG=2,PA=1,PB=4,

如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m).(1)... 第8张如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m).(1)... 第9张如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m).(1)... 第10张

∵∠GPA=∠BPG,

∴△GPA∽△BPG,

∴∠PBG=∠PGA,

∵GP=PO,

∴∠POG=∠PGO,

又∵∠POG=∠PBG+∠OGB,

∠PGO=∠PGA+∠AGO,

∴∠AGO=∠BGO,

同理可*:当点G′在x轴的下方时,结论也成立.


知识点:二次函数与一元二次方程

题型:综合题

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