如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m).(1)...
问题详情:
如图,在直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A、B两点,与直线y=2x交于点M(1,m).
(1)求m,b的值;
(2)已知点N,点M关于原点O对称,现将线段MN沿y轴向上平移s(s>0)个单位长度.若线段MN与抛物线有两个不同的公共点,试求s的取值范围;
(3)利用尺规作图,在该抛物线上作出点G,使得∠AGO=∠BGO,并简要说明理由.(保留作图痕迹)
【回答】
解:(1)把M(1,m)代入y=2x得m=2×1=2,
把M(1,2)代入y=-x2+bx+2得2=-12+b+2,即b=1;
(2)由(1)得y=-x2+x+2,M(1,2),
因为点N,点M关于原点O对称,所以N(-1,-2),
如解图①,过点N作CN⊥x轴,交抛物线于C,则C的横坐标为-1,
所以C的纵坐标为-(-1)2+(-1)+2=0,
第25题解图①
所以C(-1,0)与A重合,
则CN=AN=2,即当s=2时线段MN与抛物线有两个公共点,
设平移后的直线表达式为y=2x+s,
由得x2+x+s-2=0,
由Δ=12-4(s-2)=0,得s=,
即当s=时,线段MN与抛物线只有一个公共点,
所以,当线段MN与抛物线有两个公共点时,s的取值范围为2≤s<;
(3)如解图②,在x轴上取一点P(-2,0),以P为圆心,OP为半径作圆,⊙P与抛物线的交点,即是所求作的点G(解图②中的G与G′),
理由:
第25题解图②
当点G在x轴上方时,由作图可知,PG=2,PA=1,PB=4,
则==,
∵∠GPA=∠BPG,
∴△GPA∽△BPG,
∴∠PBG=∠PGA,
∵GP=PO,
∴∠POG=∠PGO,
又∵∠POG=∠PBG+∠OGB,
∠PGO=∠PGA+∠AGO,
∴∠AGO=∠BGO,
同理可*:当点G′在x轴的下方时,结论也成立.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题