如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A,C...
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问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).
(1)求抛物线的解析式及点B坐标;
(2)若点M是线段BC上一动点,过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值;
(3)试探究当ME取最大值时,在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M,F,B,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.
【回答】
解:(1)当y=0时,﹣3x﹣3=0,x=﹣1
∴A(﹣1,0)
当x=0时,y=﹣3,
∴C(0,﹣3),
∴
∴,
抛物线的解析式是:y=x2﹣2x﹣3.
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,
解得:x1=﹣1,x2=3
∴B(3,0).
(2)由(1)知B(3,0),C(0,﹣3)直线BC的解析式是:y=x﹣3,
设M(x,x﹣3)(0≤x≤3),则E(x,x2﹣2x﹣3)
∴ME=(x﹣3)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x=﹣(x﹣)2+
;
∴当x=时,ME的最大值为
.
(3)答:不存在.
由(2)知ME取最大值时ME=,E(
,﹣
),M(
,﹣
)
∴MF=,BF=OB﹣OF=
.
设在抛物线x轴下方存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形,
则BP∥MF,BF∥PM.
∴P1(0,﹣)或P2(3,﹣
)
当P1(0,﹣)时,由(1)知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣
∴P1不在抛物线上.
当P2(3,﹣)时,由(1)知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣
∴P2不在抛物线上.
综上所述:在x轴下方抛物线上不存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题