如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2ax﹣3a(a<0)与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,顶...
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问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2ax﹣3a(a<0)与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,顶点为D,直线DC与x轴相交于点E.
(1)当a=﹣1时,抛物线顶点D的坐标为 ,OE= ;
(2)OE的长是否与a值有关,说明你的理由;
(3)设∠DEO=β,45°≤β≤60°,求a的取值范围;
(4)以DE为斜边,在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE.设P(m,n),直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围.
【回答】
【解答】解:(1)当a=﹣1时,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,
∴顶点D(﹣1,4),C(0,3),
∴直线CD的解析式为y=﹣x+3,
∴E(3,0),
∴OE=3,
故*为(﹣1,4),3.
(2)结论:OE的长与a值无关.
理由:∵y=ax2+2ax﹣3a,
∴C(0,﹣3a),D(﹣1,﹣4a),
∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a,
当y=0时,x=3,
∴E(3,0),
∴OE=3,
∴OE的长与a值无关.
(3)当β=45°时,OC=OE=3,
∴﹣3a=3,
∴a=﹣1,
当β=60°时,在Rt△OCE中,OC=OE=3,
∴﹣3a=3,
∴a=﹣,
∴45°≤β≤60°,a的取值范围为﹣≤a≤﹣1.
(4)如图,作PM⊥对称轴于M,PN⊥AB于N.
∵PD=PE,∠PMD=∠PNE=90°,∠DPE=∠MPN=90°,
∴∠DPM=∠EPN,
∴△DPM≌△EPN,
∴PM=PN,PM=EN,
∵D(﹣1,﹣4a),E(3,0),
∴EN=4+n=3﹣m,
∴n=﹣m﹣1,
当顶点D在x轴上时,P(1,﹣2),此时m的值1,
∵抛物线的顶点在第二象限,
∴m<1.
∴n=﹣m﹣1(m<1).
知识点:各地中考
题型:综合题