如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(﹣3,),与x轴交于A...
问题详情:
如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(﹣3,),与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧)与y轴交于点C,D为BO的中点,直线DC解析式为y=kx+4(k≠0)
(1)求抛物线的解析式和直线CD的解析式.
(2)点P是抛物线第二象限部分上使得△PDC面积最大的一点,点E为DO的中点,F是线段DC上任意一点(不含端点).连接EF,一动点M从点E出发沿线段EF以每秒1个单位长度的速度运动到F点,在沿线段FC以每秒个单位长度的速度运动到C点停止.当点M在整个运动中同时最少为t秒时,求线段PF的长及t值.
(3)如图2,直线DN:y=mx+2(m≠0)经过点D,交y轴于点N,点R是已知抛物线上一动点,过点R作直线DN的垂线RH,垂足为H,直线RH交x轴与点Q,当∠DRH=∠ACO时,求点Q的坐标.
【回答】
.解:(1)由题意抛物线顶点(﹣3,),点C坐标(0,4),
设抛物线解析式y=a(x+3)2+,把点C(0,4)代入得a=﹣,
所以抛物线为y=﹣(x+3)2+=﹣x2﹣x+4,
令y=0,得x2+6x﹣16=0,x=﹣8或2,所以点B(﹣8,0),点A(2,0),D(﹣4,0)
把点D(﹣4,0)代入y=kx+4中得k=1,所以直线CD解析式为y=x+4.
(2)如图1中,过点C作y轴的垂线,过点E作x轴的垂线两线交于点M,EM与CD交于点F,
此时点F就是所求的点,时间最短.
∵OC=OD=4,
∴∠DCO=45°,
∴∠MCF=90°﹣∠DCO=45°,
∵∠MCO=∠MEO=∠EOC=90°,
∴四边形MEOC是矩形,
∴∠EMC=90°,
∴∠MFC=∠MCF=45°,∴FC=FM,
∵t=EF+=EF+FM,∴EM⊥CM时,时间最短,∴t=4秒.
设点P(m,﹣﹣m+4),
∵S△PCD=S△PDO+S△PCO﹣S△DCO=×﹣8=﹣m2﹣5m,
∴m=﹣5时,△PCD面积最大,此时P(﹣5,),∵点F(﹣2,2),
∴PF==,
(3)如图2中,①当∠DR1H1=∠DR2H2=∠ACO,
∵点N(0,2),D(﹣4,0),C(0,4),A(2,0),
∴直线DN为y=x+2,直线AC为y=﹣2x+4,∴K1K2=﹣1,
∴AC⊥DN,
∴∠ACO=∠ODN,
∴∠DNO=∠OAC,
∵∠DR1H1=∠DR2H2=∠ACO,
∴∠MDN=∠MND,
∴MN=DM,设OM=x,则(x+2)2=x2+42解得x=3,
∴点M(0,﹣3),直线DM为y=﹣x﹣3,
由解得,∴R1(﹣7,),R2(4,﹣6),
∴直线R1H1为y=﹣2x﹣,此时Q1(﹣,0),直线R2H2为y=﹣2x+2,此时Q2(1.0),
②当∠DR3H3=∠ACO时,∵R3Q3⊥DC,AC⊥DC,∴∠R3DH3=∠CNK,∴DR3∥OC,
∴R3(﹣4,6),直线R3Q3为y=﹣2x﹣2,∴Q3(﹣1,0).
综上所述满足条件的点Q的坐标为Q1(﹣,0),Q2(1.0),Q3(﹣1,0).
知识点:二次函数单元测试
题型:综合题