如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过坐标原点,与x轴正半轴交于点A,该抛物线的顶点为M,直线经过点A,与y轴交...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过坐标原点,与x轴正半轴交于点A,该抛物线的顶点为M,直线经过点A,与y轴交于点B,连接.
(1)求b的值及点M的坐标;
(2)将直线向下平移,得到过点M的直线,且与x轴负半轴交于点C,取点,连接,求*::
(3)点E是线段上一动点,点F是线段上一动点,连接,线段的延长线与线段交于点G.当时,是否存在点E,使得?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)b=3,M(3,-3);(2)详见解析;(3)点E的坐标为(,).
【解析】
(1)将*后可得顶点M的坐标,利用求出点A的坐标后代入即可求出b的值;
(2)先求出平移后的直线CM的解析式为y=-x,过点D作DH⊥直线y=-x,得到直线DH的解析式为y=2x-4,根据求出交点H(1,-2),分别求得DH=,DM=,根据sin∠DMH=得到∠DMH=45°,再利用外角与内角的关系得到结论;
(3)过点G作GP⊥x轴,过点E作EQ⊥x轴,先求出AB=,根据得到∠BAO=∠AFE,设GF=4a,则AE=EF=3a,*△AEQ∽△ABO,求得AQ=a,AF=a,再*△FGP∽△AEQ,得到FP=a,OP=PG=,由此得到+a+a=6,求出a得到AQ=,将x=代入中,得y=,即可得到点E的坐标.
【详解】
(1)∵=,
∴顶点M的坐标为(3,-3).
令中y=0,得x1=0,x2=6,
∴A(6,0),
将点A的坐标代入中,得-3+b=0,
∴b=3;
(2)∵由平移得来,
∴m=-,
∵过点M(3,-3),
∴,解得n=,
∴平移后的直线CM的解析式为y=-x.
过点D作DH⊥直线y=-x,
∴设直线DH的解析式为y=2x+k,将点D(2,0)的坐标代入,得4+k=0,
∴k=-4,
∴直线DH的解析式为y=2x-4.
解方程组,得,
∴H(1,-2).
∵D(2,0),H(1,-2),
∴DH=,
∵M(3,-3),D(2,0),
∴DM=,
∴sin∠DMH=,
∴∠DMH=45°,
∵∠ACM+∠DMH=∠ADM,
∴;
(3)存在点E,
过点G作GP⊥x轴,过点E作EQ⊥x轴,
∵A(6,0),B(0,3),
∴AB=.
∵,∠BEF=∠BAO+∠AFE,
∴∠BAO=∠AFE,
∴AE=EF,
∵,
∴,
设GF=4a,则AE=EF=3a,
∵EQ⊥x轴,
∴EQ∥OB,
∴△AEQ∽△ABO,
∴,
∴,
∴AQ=a,
∴AF=a.
∵∠AFE=∠PFG,
∴△FGP∽△AEQ,
∴,
∴FP=a,
∴OP=PG=,
∴+a+a=6,
解得a=,
∴AQ=,
∴OQ=,
将x=代入中,得y=,
∴当时,存在点E,使得,此时点E的坐标为(,).
【点睛】
此题考查了抛物线的*质,待定系数法求函数解析式,一次函数平移的*质,两个一次函数交点坐标与方程组的关系,相似三角形的判定及*质,等腰三角形的*质,三角形的外角的*质定理,是一道抛物线的综合题,较难.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题