在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A...
问题详情:
在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A、B.
(1)求a、b满足的关系式及c的值.
(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围.
(3)如图,当a=﹣1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为1?若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【分析】(1)求出点A、B的坐标,即可求解;
(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,则函数对称轴x=﹣≥0,而b=2a+1,即:﹣≥0,即可求解;
(3)过点P作直线l∥AB,作PQ∥y轴交BA于点Q,作PH⊥AB于点H,S△PAB=×AB×PH=2×PQ×=1,则|yP﹣yQ|=1,即可求解.
【解答】解:(1)y=x+2,令x=0,则y=2,令y=0,则x=﹣2,
故点A、B的坐标分别为(﹣2,0)、(0,2),则c=2,
则函数表达式为:y=ax2+bx+2,
将点A坐标代入上式并整理得:b=2a+1;
(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,
则函数对称轴x=﹣≥0,而b=2a+1,
即:﹣≥0,解得:a,
故:a的取值范围为:﹣≤a<0;
(3)当a=﹣1时,二次函数表达式为:y=﹣x2﹣x+2,
过点P作直线l∥AB,作PQ∥y轴交BA于点Q,作PH⊥AB于点H,
∵OA=OB,∴∠BAO=∠PQH=45°,
S△PAB=×AB×PH=2×PQ×=1,
则yP﹣yQ=1,
在直线AB下方作直线m,使直线m和l与直线AB等距离,
则直线m与抛物线两个交点坐标,分别与点AB组成的三角形的面积也为1,
故:|yP﹣yQ|=1,
设点P(x,﹣x2﹣x+2),则点Q(x,x+2),
即:﹣x2﹣x+2﹣x﹣2=±1,
解得:x=﹣1或﹣1,
故点P(﹣1,2)或(﹣1,1)或(﹣1﹣,﹣).
知识点:各地中考
题型:综合题