如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过A,C两点,连接BC.
(1)求直线l的解析式;
(2)若直线x=m(m<0)与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线l交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;
(3)取点G(0,﹣1),连接AG,在第一象限内的抛物线上,是否存在点P,使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【分析】(1)根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标,从而可以求得直线l的函数解析式;
(2)根据题意作出合适的辅助线,利用三角形相似和勾股定理可以解答本题;
(3)根据题意画出相应的图形,然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB,然后根据题目中的条件和图形,利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题.
【解答】解:(1)∵抛物线y=x2+x﹣2,
∴当y=0时,得x1=1,x2=﹣4,当x=0时,y=﹣2,
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,
∴点A的坐标为(﹣4,0),点B(1,0),点C(0,﹣2),
∵直线l经过A,C两点,设直线l的函数解析式为y=kx+b,
,得,
即直线l的函数解析式为y=;
(2)直线ED与x轴交于点F,如右图1所示,
由(1)可得,
AO=4,OC=2,∠AOC=90°,
∴AC=2,
∴OD=,
∵OD⊥AC,OA⊥OC,∠OAD=∠CAO,
∴△AOD∽△ACO,
∴,
即,得AD=,
∵EF⊥x轴,∠ADC=90°,
∴EF∥OC,
∴△ADF∽△ACO,
∴,
解得,AF=,DF=,
∴OF=4﹣=,
∴m=﹣,
当m=﹣时,y=×()2+×(﹣)﹣2=﹣,
∴EF=,
∴DE=EF﹣FD=;
(3)存在点P,使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG,
理由:作GM⊥AC于点M,作PN⊥x轴于点N,如右图2所示,
∵点A(﹣4,0),点B(1,0),点C(0,﹣2),
∴OA=4,OB=1,OC=2,
∴tan∠OAC=,tan∠OCB=,AC=2,
∴∠OAC=∠OCB,
∵∠BAP=∠BCO﹣∠BAG,∠GAM=∠OAC﹣∠BAG,
∴∠BAP=∠GAM,
∵点G(0,﹣1),AC=2,OA=4,
∴OG=1,GC=1,
∴AG=,,即,
解得,GM=,
∴AM===,
∴tan∠GAM==,
∴tan∠PAN=,
设点P的坐标为(n,n2+n﹣2),
∴AN=4+n,PN=n2+n﹣2,
∴,
解得,n1=,n2=﹣4(舍去),
当n=时,n2+n﹣2=,
∴点P的坐标为(,),
即存在点P(,),使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG.
【点评】本题是一道二次函数综合题,解答本题的关键是明确题意,作出合适的辅助线,找出所求问题需要的条件,利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的*质解答.
知识点:各地中考
题型:综合题