如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），...

问题详情：

如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出*．

【回答】

（1）；（2）相交，*见解析

【解析】

【分析】

（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；

（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．

【详解】

解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，

∵抛物线经过点，

∴3＝a（0﹣4）2﹣1，

a＝；

∴抛物线的表达式为：；

（2）相交．

*：连接CE，则CE⊥BD，（x﹣4）2﹣1＝0时，x1＝2，x2＝6．

，，，

对称轴x＝4，

∴OB＝2，AB＝，BC＝4，

∵AB⊥BD，

∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，

∴△AOB∽△BEC，

∴，即，解得，

∵，

故抛物线的对称轴l与⊙C相交．

【点睛】

本题考查待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与*质、直线与圆的位置关系等内容，掌握数形结合的思想是解题的关键．

知识点：二次函数单元测试

题型：解答题