如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.(1)...
问题详情:
如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.
【回答】
解:(1)A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3).抛物线的对称轴是:直线x=1.
(2)①设直线BC的函数关系式为:y=kx+b.
把B(3,0),C(0,3)分别代入得:解得:.所以直线BC的函数关系式为:y=﹣x+3.
当x=1时,y=﹣1+3=2,∴E(1,2).
当x=m时,y=﹣m+3,∴P(m,﹣m+3).
在y=﹣x2+2x+3中,当x=1时,y=4.∴D(1,4)
当x=m时,y=﹣m2+2m+3,∴F(m,﹣m2+2m+3)∴线段DE=4﹣2=2,
线段PF=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m∵PF∥DE,∴当PF=ED时,四边形PEDF为平行四边形.
由﹣m2+3m=2,解得:m1=2,m2=1(不合题意,舍去).因此,当m=2时,四边形PEDF为平行四边形.
②设直线PF与x轴交于点M,由B(3,0),O(0,0),可得:OB=OM+MB=3.
∵S=S△BPF+S△CPF即S=PF•BM+PF•OM=PF•(BM+OM)=PF•OB.∴S=×3(﹣m2+3m)=﹣m2+m(0≤m≤3).
方法二:(3)∵B(3,0),C(0,3),D(1,4),∴,∴,
∵∠DEC=∠COB=90°,∴△DEC∽△COB,∴∠DCE=∠CBO,∴∠DCE+∠OCB=90°,
∴DC⊥BC,∴△BCD的外接圆圆心M为BD中点,
∴MX==2,MY==2,∴△BCD的外接圆圆心M(2,2).
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题