如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣4）与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，点D在线段C...

问题详情：

如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣4）与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，点D在线段CB上（点D不与B、C重合），过点D作CA的平行线，与抛物线相交于点E，直线BC的解析式为y=kx+2．

（1）抛物线的解析式为　   　；

（2）求线段DE的最大值；

（3）当点D为BC的中点时，判断四边形CAED的形状，并加以*．

【回答】

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）先利用一次函数解析式确定C（0，2），然后把C点坐标代入y=a（x﹣1）（x﹣4）中求出a即可；

（2）如图1，过点D、E分别作y轴、x轴的平行线，两线相交于点F，先解方程（x﹣1）（x﹣4）=0得A（1，0），B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+2，设E（m， m2﹣m+2），EF=n，则D（m﹣n，﹣ m+n+2），则DF=﹣m+n+2﹣（m2﹣m+2）=﹣m2+2m+n，接着*Rt△OCA∽Rt△FDE，利用相似比得到=2，则﹣m2+2m+n=2n，所以n=﹣m2+m，利用勾股定理得DE=﹣m2+m，然后根据二次函数的*质解决问题；

（3）利用两点间的距离公式得到AC=，BC=2，再利用点D为BC的中点得到D（2，1），CD=，易得直线AC的解析式为y=﹣2x+2，接着求出直线DE的解析式为y=﹣2x+5，

于是解方程组得E（3，﹣1），所以DE=，然后根据菱形的判定方法可判断四边形CAED为菱形．

【解答】解：（1）当x=0时，y=kx+2=2，则C（0，2），

把C（0，2）代入y=a（x﹣1）（x﹣4）得a•（﹣1）•（﹣4）=2，解得a=，

∴抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x2﹣x+2；

故*为y=x2﹣x+2；

（2）如图1，过点D、E分别作y轴、x轴的平行线，两线相交于点F，

当y=0时，（x﹣1）（x﹣4）=0，解得x1=1，x2=4，则A（1，0），B（4，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把C（0，2），B（4，0）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，

设E（m， m2﹣m+2），EF=n，则D（m﹣n，﹣ m+n+2），

∴DF=﹣m+n+2﹣（m2﹣m+2）=﹣m2+2m+n，

∵OC∥DF，

∴∠OCB=∠FDB，

∵DE∥CA，

∴∠ACB=∠EDB，

∴∠OCA=∠FDE，

∴Rt△OCA∽Rt△FDE，

∴=，

∴===2，

∴﹣m2+2m+n=2n，

∴n=﹣m2+m，

在Rt△DEF中，DE==EF=n=﹣m2+m，

∵DE=﹣（m﹣2）2+，

∴当m=2时，DE的长有最大值，最大值为；

（3）四边形CAED为菱形．理由如下：

AC==，BC==2，

∵点D为BC的中点，

∴D（2，1），CD=，

易得直线AC的解析式为y=﹣2x+2，

设直线DE的解析式为y=﹣2x+p，

把D（2，1）代入得1=﹣4+p，解得p=4，

∴直线DE的解析式为y=﹣2x+5，

解方程组得或，则E（3，﹣1），

∴DE==，

∴AC=DE，

而AC∥DE，

∴四边形CAED为平行四边形，

∵CA=CD，

∴四边形CAED为菱形．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题