如图,抛物线y=ax2﹣8ax+12a(a>0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,点D的坐...
问题详情:
如图,抛物线y=ax2﹣8ax+12a(a>0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,点D的坐标为(﹣6,0),且∠ACD=90°.
(1)请直接写出A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PAC的周长最小?若存在,求出点P的坐标及周长的最小值;若不存在,说明理由;
(4)平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动,到点A停止.设直线m与折线DCA的交点为G,与x轴的交点为H(t,0).记△ACD在直线m左侧部分的面积为s,求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围.
【回答】
解:(1)抛物线的解析式为:y=ax2﹣8ax+12a(a>0),
令y=0,即ax2﹣8ax+12a=0,
解得x1=2,x2=6,
∴A(2,0),B(6,0).
(2)抛物线的解析式为:y=ax2﹣8ax+12a(a>0),
令x=0,得y=12a,∴C(0,12a),OC=12a.
在Rt△COD中,由勾股定理得:CD2=OC2+OD2=(12a)2+62=144a2+36;
在Rt△COD中,由勾股定理得:AC2=OC2+OA2=(12a)2+22=144a2+4;
在Rt△COD中,由勾股定理得:DC2+AC2=AD2;
即:(144a2+36)+(144a2+4)=82,
解得:a=或a=﹣(舍去),
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x+.
(3)存在.
对称轴为直线:x=﹣=4.
由(2)知C(0,),则点C关于对称轴x=4的对称点为C′(8,),
连接AC′,与对称轴交于点P,则点P为所求.此时△PAC周长最小,最小值为AC+AC′.
设直线AC′的解析式为y=kx+b,则有:
,解得,
∴y=x﹣.
当x=4时,y=,∴P(4,).
过点C′作C′E⊥x轴于点E,则C′E=,AE=6,
在Rt△AC′E中,由勾股定理得:AC′==4;
在Rt△AOC中,由勾股定理得:AC==4.
∴AC+AC′=4+4.
∴存在满足条件的点P,点P坐标为(4,),△PAC周长的最小值为4+4.
(4)①当﹣6≤t≤0时,如答图4﹣1所示.
∵直线m平行于y轴,
∴,即,解得:GH=(6+t)
∴S=S△DGH=DH•GH=(6+t)•(6+t)=t2+2t+6;
②当0<t≤2时,如答图4﹣2所示.
∵直线m平行于y轴,
∴,即,解得:GH=﹣t+2.
∴S=S△COD+S梯形OCGH=OD•OC+(GH+OC)•OH
=×6×2+(﹣t+2+2)•t
=﹣t2+2t+6.
∴S=.
知识点:各地中考
题型:综合题