如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,﹣3).(1)...
问题详情:
如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图①,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠ACO.求点P的坐标;
(3)如图②,点Q为x轴下方抛物线上任意一点,点D是抛物线对称轴与x轴的交点,直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM+DN是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(1,0),C(0,﹣3)
∴ 解得:
∴抛物线的函数表达式为y=x2+2x﹣3
(2)①若点P在x轴下方,如图1,
延长AP到H,使AH=AB,过点B作BI⊥x轴,连接BH,作BH中点G,连接并延长AG交BI于点F,过点H作HI⊥BI于点I
∵当x2+2x﹣3=0,解得:x1=﹣3,x2=1
∴B(﹣3,0)
∵A(1,0),C(0,﹣3)
∴OA=1,OC=3,AC=,AB=4
∴Rt△AOC中,sin∠ACO=,cos∠ACO=
∵AB=AH,G为BH中点
∴AG⊥BH,BG=GH
∴∠BAG=∠HAG,即∠PAB=2∠BAG
∵∠PAB=2∠ACO
∴∠BAG=∠ACO
∴Rt△ABG中,∠AGB=90°,sin∠BAG=
∴BG=AB=
∴BH=2BG=
∵∠HBI+∠ABG=∠ABG+∠BAG=90°
∴∠HBI=∠BAG=∠ACO
∴Rt△BHI中,∠BIH=90°,sin∠HBI=,cos∠HBI=
∴HI=BH=,BI=BH=
∴xH=﹣3+=﹣,yH=﹣,即H(﹣,﹣)
设直线AH解析式为y=kx+a
∴ 解得:
∴直线AH:y=x﹣
∵ 解得:(即点A),
∴P(﹣,﹣)
②若点P在x轴上方,如图2,
在AP上截取AH'=AH,则H'与H关于x轴对称
∴H'(﹣,)
设直线AH'解析式为y=k'x+a'
∴ 解得:
∴直线AH':y=﹣x+
∵ 解得:(即点A),
∴P(﹣,)
综上所述,点P的坐标为(﹣,﹣)或(﹣,).
(3)DM+DN为定值
∵抛物线y=x2+2x﹣3的对称轴为:直线x=﹣1
∴D(﹣1,0),xM=xN=﹣1
设Q(t,t2+2t﹣3)(﹣3<t<1)
设直线AQ解析式为y=dx+e
∴ 解得:
∴直线AQ:y=(t+3)x﹣t﹣3
当x=﹣1时,yM=﹣t﹣3﹣t﹣3=﹣2t﹣6
∴DM=0﹣(﹣2t﹣6)=2t+6
设直线BQ解析式为y=mx+n
∴ 解得:
∴直线BQ:y=(t﹣1)x+3t﹣3
当x=﹣1时,yN=﹣t+1+3t﹣3=2t﹣2
∴DN=0﹣(2t﹣2)=﹣2t+2
∴DM+DN=2t+6+(﹣2t+2)=8,为定值.
知识点:各地中考
题型:综合题