如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．（1）...

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如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；

（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【回答】

（1）解：将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3 （2）解：将抛物线的解析式化为顶点式，得 y=（x﹣1）2﹣4， M点的坐标为（1，﹣4）， M′点的坐标为（1，4），设AM′的解析式为y=kx+b，将A、M′点的坐标代入，得，解得， AM′的解析式为y=2x+2，联立AM′与抛物线，得，解得， C点坐标为（5，12）． S△ABC= ×4×12=24 （3）解：存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形，由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得 P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2）， ①当顶点P（1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，将A点坐标代入函数解析式，得 a（﹣1﹣1）2﹣2=0，解得a= ，抛物线的解析式为y= （x﹣1）2﹣2， ②当P（1，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+2，将 A点坐标代入函数解析式，得 a（﹣1﹣1）2+2=0，解得a=﹣ ，抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣1）2+2，综上所述：y= （x﹣1）2﹣2或y=﹣ （x﹣1）2+2，使得四边形APBQ为正方形．【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，正方形的*质，关于x轴、y轴对称的点的坐标，二次函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将A、B点坐标代入函数解析式，即可求解。（2）先求出顶点坐标，根据轴对称的*质，可求得点M′的坐标，再求出直线AM′的解析式，再将两函数解析式联立，建立方程组，求解即可求出点C的坐标，然后求出△ABC的面积。（3）根据正方形的*质，求得P、Q两点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式。