如图，以x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，点B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，...
问题详情：
如图，以x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，点B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，4），作直线AC．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，且到直线AC和x轴的距离相等，设点P的纵坐标为m，求m的值；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点Q为第一象限内抛物线上一点，若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．
【回答】
【解答】解：（1）∵点A与点B（﹣1，0）关于直线x=1对称，
∴A（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，4）代入得a•1•（﹣3）=4，解得a=﹣
，
∴抛物线解析式为y=﹣
（x+1）（x﹣3），即y=﹣
x2+
x+4；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+p，
把A（3，0），C（0，4）代入得
，解得
，
∴直线AC的解析式为y=﹣
x+4；
令对称轴与直线AC交于点D，与x轴交于点E，作PH⊥AD于H，如图1，
当x=1时，y=﹣
x+4=
，则D（1，
），
∴DE=
，
在Rt△ADE中，AD=
=
，
设P（1，m），则PD=
﹣m，PH=PE=|m|，
∵∠PDH=∠ADE，
∴△DPH∽△DAE，
∴
=
，即
=
，解得m=1或m=﹣4，
即m的值为1或﹣4；
（3）设Q（t，﹣
t2+
t+4）（0＜t＜4），
当CM为对角线时，四边形CQMN为菱形，如图2，则点N和Q关于y轴对称，
∴N（﹣t，﹣
t2+
t+4），
把N（﹣t，﹣
t2+
t+4）代入y=﹣
x+4得
t+4=﹣
t2+
t+4，解得t1=0（舍去），t2=1，此时Q点坐标为（1，
）；
当CM为菱形的边时，四边形CNQM为菱形，如图3，则NQ∥y轴，NQ=NC，
∴N（t，﹣
t+4），
∴NQ=﹣
t2+
t+4﹣（﹣
t+4）=﹣
t2+4t，
而CN2=t2+（﹣
t+4﹣4）2=
t2，即CN=
t，
∴﹣
t2+4t=
t，解得t1=0（舍去），t2=
，此时Q点坐标为（
，
），
综上所述，点Q的坐标为（1，
）或（
，
）．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：解答题
