如图，已知顶点为C的抛物线y=ax2﹣4ax+c与y轴交于点A（0，﹣3），与x轴两个交点之间的距离为8，点B...

问题详情：

如图，已知顶点为C的抛物线y=ax2﹣4ax+c与y轴交于点A（0，﹣3），与x轴两个交点之间的距离为8，点B是抛物线上的点，且满足AB∥x轴，BD⊥x轴于D．

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）在抛物线上确定一点F，使直线EF将四边形ABDO的面积两等分，求出点F的坐标；

（3）在线段AB上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵抛物线与y轴的交点C（0，﹣3），

∴c=﹣3，

∵抛物线的解析式为y=ax2﹣4ax﹣3，[来源:学科网ZXXK]

∴此抛物线的对称轴为x=﹣=2，

∵抛物线与x轴的两交点之间的距离为8，

抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（6，0），

将（﹣2，0）代入抛物线y=ax2﹣4ax﹣3中，得，0=4a+8a﹣3，

∴a==，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3，

（2）∵A（0，﹣3），且AB∥x轴，

∴B（4，﹣3），

∴OB的中点坐标为（2，﹣），由（1）知，E（﹣2，0），

易得，四边形ABDO是矩形，

∵直线EF将矩形ABDO面积两等分，

∴EF必过矩形OB的中点（2，﹣），

∵E（﹣2，0），

∴直线EF的解析式为y=﹣x﹣①，

∵抛物线的解析式y=x2﹣x﹣3②，

联立①②得，（舍）或，

∴F（，﹣）；

（3）如图，

由（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3，

∴C（2，﹣4），

∴直线OC的解析式为y=﹣2x，

记OC与AB的交点为G，

∴G（，﹣3），

在Rt△AOG中，tan∠AOC===

过点C作CF⊥AB于F，

∴AF=2，CH=1，

在Rt△ACF中，tan∠CAF==，

∴∠AOC=∠CAF，

设P（m，﹣3）（0＜m≤4），

∵A（0，﹣3），C（2，﹣4），

∴OA=3，OC==2，AC=，AP=m，

∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOC相似，且∠AOC=CAF，

∴①当△AOC∽△CAP时，

∴，

∴，

∴m=，

∴P（，﹣3），

②当△AOC∽△PAC时，

∴，

∴，

∴m=，

∴P（，﹣3）；

即：满足条件的点P的坐标为（，﹣3）或（，﹣3）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题