如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E...
问题详情:
如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接CB交EF于点M,连接AM交OC于点R,连接AC,求△ACR的周长;
(3)设G(4,-5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作PH⊥EF于点H,连接AP,GH,问AP+PH+HG是否有最小值?如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由.
【回答】
解:(1)∵四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3,
∴C点坐标为(0,3),E点坐标为(2,3).
将C、E点坐标代入抛物线解析式y=-x2+bx+c得:
,解得.
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3;
(2)由(1)得y=-x2+2x+3,
令y=0,得-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0),B(3,0),
∵AO=1,CO=3,
∴在Rt△AOC中,
AC==,
∵CO=BO=3,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∴FM=BF=1,
∵RO∥MF,∠RAO=∠MAF,
∴△ARO∽△AMF,
∴=,即=,
解得RO=,
∴CR=OC-OR=3-=,
AR===,
∴△ACR的周长为:AC+CR+AR=++=;
(3)如解图①,取OF中点A′,连接A′G交直线EF的延长线于点H,过点H作HP′⊥y轴于点P′,连接AP′,
第12题解图①
则当P在P′处时,使AP+PH+HG最小,
∵A′为OF中点,
∴A′坐标为(1,0),
设直线A′G的解析式为y=kx+a,
将点G(4,-5),A′(1,0)分别代入得
,解得:,
∴直线A′G的解析式为:y=-x+.
令x=2,得y=-+=-,
∴点H的坐标为(2,-),
∴符合题意的点P的坐标为(0,-).
知识点:相似三角形
题型:综合题