如图，抛物线y＝－x2＋x＋1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C...

问题详情：

如图，抛物线y＝－x2＋x＋1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0)．

(1)求直线AB的函数关系式；

(2)动点P在线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速度向点C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O、点C重合的情况)，连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否为菱形？请说明理由．

【回答】

解：(1)设直线AB的函数关系式为y＝ax＋b(a≠0)，

对于抛物线y＝－x2＋x＋1，

令x＝0，得y＝1，即有A(0，1)，

将点A的坐标代入直线AB的函数关系式，得b＝1，

令x＝3，得y＝，即有B(3，)，

将点B的坐标代入直线AB的函数关系式，得a＝，

∴直线AB的函数关系式为y＝x＋1；………………………(3分)

(2)显然OP＝t，即P(t，0)，

将x＝t代入抛物线解析式可得y＝－t2＋t＋1，

即N(t，－t2＋t＋1)，

将x＝t代入直线AB的函数关系式可得y＝t＋1，

即M(t，t＋1)，

∴s＝MN＝－t2＋t＋1－(t＋1)，

∴s＝－t2＋t(0≤t≤3)；……………………………………(6分)

(3)显然NM∥BC，

∴要使得四边形BCMN为平行四边形，只要MN＝BC，

即s＝－t2＋t＝，

解得t＝1或t＝2.

①当t＝1时，M(1，)，

∴MP＝，CP＝OC－OP＝2.

在Rt△MPC中，CM＝＝＝BC，

∴四边形BCMN为菱形；

②当t＝2时，M(2，2)，

∴MP＝2，CP＝1.

在Rt△MPC中，CM＝＝≠BC.

∴四边形BCMN不是菱形．

综上，当t＝1或t＝2时，四边形BCMN为平行四边形；当t＝1

时，平行四边形BCMN为菱形．……………………………(9分)

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题