如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx...
问题详情:
如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=﹣x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(﹣1,0),D(5,﹣6),P点为抛物线y=﹣x2+bx+c上一动点(不与A、D重合).
(1)求抛物线和直线l的解析式;
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PE∥x轴交直线l于点E,作PF∥y轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值;
(3)设M为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N、C,M、P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)将点A、D的坐标代入直线表达式得:,解得:,
故直线l的表达式为:y=﹣x﹣1,
将点A、D的坐标代入抛物线表达式,
同理可得抛物线的表达式为:y=﹣x2+3x+4;
(2)直线l的表达式为:y=﹣x﹣1,则直线l与x轴的夹角为45°,
即:则PE=PE,
设点P坐标为(x,﹣x2+3x+4)、则点F(x,﹣x﹣1),
PE+PF=2PF=2(﹣x2+3x+4+x+1)=﹣2(x﹣2)2+18,
∵﹣2<0,故PE+PF有最大值,
当x=2时,其最大值为18;
(3)NC=5,
①当NC是平行四边形的一条边时,
设点P坐标为(x,﹣x2+3x+4)、则点M(x,﹣x﹣1),
由题意得:|yM﹣yP|=5,即:|﹣x2+3x+4+x+1|=5,
解得:x=2或0或4(舍去0),
则点P坐标为(2+,﹣3﹣)或(2﹣,﹣3+)或(4,﹣5);
②当NC是平行四边形的对角线时,
则NC的中点坐标为(﹣,2),
设点P坐标为(m,﹣m2+3m+4)、则点M(n,﹣n﹣1),
N、C,M、P为顶点的四边形为平行四边形,则NC的中点即为PM中点,
即:﹣=,2=,
解得:m=0或﹣4(舍去0),
故点P(﹣4,3);
故点P的坐标为:(2+,﹣3﹣)或(2﹣,﹣3+)或(4,﹣5)或(﹣4,3).
知识点:各地中考
题型:综合题