如图，抛物线y＝－x2－2x＋3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的...

问题详情：

如图，抛物线y＝－x2－2x＋3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

(1)求A，B，C三点的坐标．

(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A，B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．

(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连结DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝2DQ，求点F的坐标．

【回答】

解：(1)由抛物线y=－x2－2x＋3可知点C(0，3)，

令y＝0，则0=－x2－2x＋3，解得x＝－3或x＝1，∴点A(－3，0)，B(1，0)．

(2)由抛物线y=－x2－2x＋3=－(x＋1)2＋4可知，对称轴为直线x=-1，

设点M的横坐标为m，则PM=－m2－2m＋3，MN=(-m-1)×2=-2m-2，

∴矩形PMNQ的周长=2(PM＋MN)=2(-m2-2m＋3-2m-2)=-2m2－8m＋2=-2(m＋2)2＋10，

∴当m＝－2时矩形的周长最大．

∵点A(－3，0)，C(0，3)，可求得直线AC的函数表达式为y=x＋3，

当x=-2时，y=-2＋3=1，则点E(-2，1)，∴EM＝1，AM＝1，∴S＝AM·EM＝.

(3)∵点M的横坐标为－2，抛物线的对称轴为x＝－1，

∴点N应与原点重合，点Q与点C重合，∴DQ＝DC，

把x＝－1代入y＝－x2－2x＋3，得y＝4，∴点D(－1，4)．∴DQ＝DC

∵FG＝2DQ，∴FG＝4，

设点F(n，－n2－2n＋3)，则点G(n，n＋3)，

∵点G在点F的上方，∴(n＋3)－(－n2－2n＋3)＝4，解得n＝－4或n＝1.

∴点F(－4，－5)或(1，0)．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题