如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=﹣x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=x2+bx+...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=﹣x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点,与x轴交于另一点B
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D是第二象限抛物线上的一个动点,连接AD、BD、CD,当S△ACD= S四边形ACBD时,求D点坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BC,过点D作DE⊥BC,交CB的延长线于点E,点P是第三象限抛物线上的一个动点,点P关于点B的对称点为点Q,连接QE,延长QE与抛物线在A、D之间的部分交于一点F,当∠DEF+∠BPC=∠DBE时,求EF的长.
【回答】
(1)解:∵令x=0得:y=﹣3, ∴C(0,﹣3). 令y=0得:﹣x﹣3=0,解得x=﹣3, ∴A(﹣3,0). 将A、C两点的坐标代入抛物线的解析式的: ,解得: . ∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3 (2)解:如图1所示: 令y=0得:x2+2x﹣3=0,解得x=﹣3或x=1. ∴AB=4. ∵S△ACD= S四边形ACBD , ∴S△ADC:S△DCB=3:5. ∴AE:EB=3:5. ∴AE=4× = . ∴点E的坐标为(﹣ ,0). 设EC的解析式为y=kx+b,将点C和点E的坐标代入得: , 解得:k=﹣2,b=﹣3. ∴直线CE的解析式为y=﹣2x﹣3. 将y=﹣2x﹣3与y=x2+2x﹣3联立,解得:x=﹣4或x=0(舍去), 将x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得:y=5. ∴点D的坐标为(﹣4,5) (3)解:如图2所示:过点D作DN⊥x轴,垂足为N,过点P作PM⊥x轴,垂足为M. 设直线BC的解析式为y=kx+b,将点C和点B的坐标代入得: , 解得:k=3,b=﹣3. ∴直线BC的解析式为y=3x﹣3. 设直线DE的解析式为y=﹣ x+n,将点D的坐标代入得:﹣ ×(﹣4)+n=5,解得n=5﹣ = . ∴直线DE的解析式为y=﹣ x+ . 将y=3x﹣3与y=﹣ x+ 联立解得:x=2,y=3. ∴点E坐标为(2,3). 依据两点间的距离公式可知:BC=CE= . ∵点P与点Q关于点B对称, ∴PB=BQ. 在△PCB和△QEB中 , ∴△PCB≌△QEB. ∴∠BPC=∠Q. 又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE,∠DEF=∠QEG,∠EGB=∠Q+∠QEG ∴∠DBE=∠DGB. 又∵∠DBE+∠BDE=90°, ∴∠DGB+∠BDG=90°,即∠PBD=90°. ∵D(﹣4,5),B(1,0), ∴DM=NB. ∴∠DBN=45°. ∴∠PBM=45°. ∴PM=MB 设点P的坐标为(a,a2+2a﹣3),则BM=1﹣a,PM=﹣a2﹣2a+3. ∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3,解得:a=﹣2或a=1(舍去). ∴点P的坐标为(﹣2,3). ∴PC∥x轴. ∵∠Q=∠BPC, ∴EQ∥PC. ∴点E与点F的纵坐标相同. 将y=3代入抛物线的解析式得:x2+2x﹣3=3,解得:x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ (舍去). ∴点F的坐标为(﹣1 ,3). ∴EF=2﹣(﹣1﹣ )=3+
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题