如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B.(Ⅰ)求点A,B...
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如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B. (Ⅰ)求点A,B的坐标; (Ⅱ)在直线AB上是否存在点P,使△OAP是以OA为底边的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若将Rt△AOB折叠,使OB边落在AB上,点O与点D重合,折痕为BC,求折痕BC所在直线的解析式.
第1题图
【回答】
解:(Ⅰ)在y=-x+4中,令x=0可得y=4,令y=0可求得x=4, ∴A(4,0),B(0,4); (Ⅱ)如解图①,作线段OA的垂直平分线,交x轴于点E,交AB于点P, 则OP=PA,即P点即为满足条件的点, ∵OA=4, ∴OE=2, 在y=-x+4中,当x=2时,可得y=2, ∴P点坐标为(2,2); (Ⅲ)如解图②, 设C(t,0),则AC=OA-OC=4-t, ∵OA=OB=4, ∴AB=4, 由折叠的*质可得BD=OB=4,CD=OC=t,∠ADC=∠BOC=90°, ∴AD=AB-BD=4-4, 在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC2=AD2+CD2,即(4-t)2=t2+(4-4)2,解得t=4-4, ∴C(4-4,0), 设直线BC解析式为y=kx+b, ∴,
解得, ∴折痕BC的解析式为y=-(1+)x+4.
图① 图②
第1题解图
知识点:勾股定理
题型:解答题