如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,点P是抛物线...
问题详情:
如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S.
①求S关于t的函数表达式;
②求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.
【回答】
【解答】解:(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c,
,解得:,
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3.
(2)在图1中,连接PC,交抛物线对称轴l于点E,
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
当t=2时,点C、P关于直线l对称,此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形.
∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3,
∴点C的坐标为(0,3),点P的坐标为(2,3),
∴点M的坐标为(1,6);
当t≠2时,不存在,理由如下:
若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,
∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为0,
∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2.
又∵t≠2,
∴不存在.
(3)①在图2中,过点P作PF∥y轴,交BC于点F.
设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0),
将B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,
,解得:,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3.
∵点P的坐标为(t,﹣t2+2t+3),
∴点F的坐标为(t,﹣t+3),
∴PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,
∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+.
②∵﹣<0,
∴当t=时,S取最大值,最大值为.
∵点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),
∴线段BC==3,
∴P点到直线BC的距离的最大值为=,此时点P的坐标为(,).
【点评】本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、平行四边形的判定与*质、三角形的面积、一次(二次)函数图象上点的坐标特征以及二次函数的*质,解题的关键是:(1)由点的坐标,利用待定系数法求出抛物线表达式;(2)分t=2和t≠2两种情况考虑;(3)①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式;②利用二次函数的*质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值.
知识点:各地中考
题型:综合题