已知抛物线，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N．（1）求*：抛物线与x轴必有公共点；（2）若抛物线与x轴交于A...
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问题详情：
已知抛物线
，直线
与x轴交于点M，与y轴交于点N．
（1）求*：抛物线与x轴必有公共点；
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点，且抛物线的顶点C落在此直线上，求
的面积；
（3）若线段
与抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围．
【回答】
（1）见解析；（2）
；（3）
或
或
【分析】
（1）根据根的判别式
的正负*，即可求*；
（2）利用顶点的特点，求得点C的坐标，将点C坐标代入抛物线即可求得抛物线解析式，继而可得抛物线与x的交点A、B坐标，继而根据三角形面积公式即可求解；
（3）先求出点M、N的坐标，再分两种情况讨论即可：
【详解】
解：（1）∵
∴抛物线与x轴必有公共点．
（2）∵
∴其定点C的横坐标为
又∵定点C在直线
上，所以定点C的坐标为
把点
代入抛物线
中，解得
∴抛物线方程为
∴抛物线与x轴的交点分别为
和
∴
∴
（3）当
时，
，则N为
当
时，
，即M为
∵拋物线的对称轴为
∴分两种情况：
①由
，得
∴
，解得
时，
线段
与抛物线有且只有一个公共点；
②当
，解得
或
时，
线段
与抛物线有且只有一个公共点．
综上所述，m的取值范围是
或
或
．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合问题，涉及到根的判别式，解题的关键是综合运用所学知识，特别是二次函数的*质，有一定的难度．
知识点：二次函数单元测试
题型：解答题
