如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线...
问题详情：
如图， 已知抛物线
的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ．
（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ．
【回答】
（1）
，点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)；（2）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M的坐标为(4-2
，
)、(2，6)、(6，4)或(4+2
，-
)．
【分析】
（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的*质即可求出a值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A、B的坐标；
（2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标， 由点B、C的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC的解析式， 假设存在， 设点P的坐标为（x,
），过点P作PD//y轴， 交直线BC于点D，则点D的坐标为（x,
），PD=-
x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC的面积关于x的函数关系式， 再利用二次函数的*质即可解决最值问题；
（3） 设点M的坐标为（m,
），则点N的坐标为（m,
），进而可得出MN
，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ．
【详解】
（1）
抛物线
的对称轴是直线
，
，解得：
，
抛物线的解析式为
．
当
时，
，
解得：
，
，
点
的坐标为
，点
的坐标为
．
（2） 当
时，
，
点
的坐标为
．
设直线
的解析式为
．
将
、
代入
，
，解得：
，
直线
的解析式为
．
假设存在， 设点
的坐标为
，过点
作
轴， 交直线
于点
，则点
的坐标为
，如图所示 ．
，
．
，
当
时，
的面积最大， 最大面积是 16 ．
，
存在点
，使
的面积最大， 最大面积是 16 ．
（3） 设点
的坐标为
，则点
的坐标为
，
．
又
，
．
当
时， 有
，
解得：
，
，
点
的坐标为
或
；
当
或
时， 有
，
解得：
，
，
点
的坐标为
，
或
，
．
综上所述：
点的坐标为
，
、
、
或
，
．
【点睛】
本题考查了二次函数的*质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的*质求出a的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x的函数关系式； （3） 根据MN的长度， 找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程 ．
知识点：二次函数的图象和*质
题型：解答题
