在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如...

问题详情：

在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接，交y轴于点E，点M是线段上的动点（不与点A，点D重合），将沿所在直线翻折，得到，当与重叠部分的面积是面积的时，请直接写出线段的长．

【回答】

（1）；（2）存在，（，）或（，）；（3）或

【解析】

（1）根据点A和点C的坐标，利用待定系数法求解；

（2）在x轴正半轴上取点E，使OB=OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，构造出∠PBC=∠BDE，分点P在第三象限时，点P在x轴上方时，点P在第四象限时，共三种情况分别求解；

（3）设EF与AD交于点N，分点F在直线AC上方和点F在直线AC下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的*质可得MN=AN，FN=NE，从而*四边形FMEA为平行四边形，继而求解．

【详解】

解：（1）∵抛物线经过点A（-2，-4）和点C（2，0），

则，解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）存在，理由是：

在x轴正半轴上取点E，使OB=OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，

在中，

令y=0，解得：x=2或-1，

∴点B坐标为（-1，0），

∴点E坐标为（1，0），

可知：点B和点E关于y轴对称，

∴∠BDO=∠EDO，即∠BDE=2∠BDO，

∵D（0，2），

∴DE==BD，

在△BDE中，有×BE×OD=×BD×EF，

即2×2=×EF，解得：EF=，

∴DF==，

∴tan∠BDE===，

若∠PBC=2∠BDO，

则∠PBC=∠BDE，

∵BD=DE=，BE=2，

则BD2+DE2＞BE2，

∴∠BDE为锐角，

当点P在第三象限时，

∠PBC为钝角，不符合；

当点P在x轴上方时，

∵∠PBC=∠BDE，设点P坐标为（c，），

过点P作x轴的垂线，垂足为G，

则BG=c+1，PG=，

∴tan∠PBC===，

解得：c=，

∴=，

∴点P的坐标为（，）；

当点P在第四象限时，

同理可得：PG=，BG=c+1，

tan∠PBC===，

解得：c=，

∴=，

∴点P的坐标为（，），

综上：点P的坐标为（，）或（，）；

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题