如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，将抛物...
问题详情：
如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于点
和点
，与
轴交于点
．
（1）求抛物线
的表达式；
（2）如图2，将抛物线
先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线
，若抛物线
与抛物线
相交于点
，连接
，
，
．
①求点
的坐标；
②判断
的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线
上是否存在点
，使得
为等腰直角三角形，若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【回答】
（1）
；（2）①点
的坐标
；②
是等腰直角三角形，理由见解析；（3）
或
．
【解析】
（1）将点
代入即可得；
（2）①先根据二次函数的平移规律得出抛物线
的表达式，再联立两条抛物线的表达式求解即可得；
②先根据抛物线
的表达式求出点B、C的坐标，再利用两点之间的距离公式分别求出BC、BD、CD的长，然后根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的定义即可得；
（3）设点P的坐标为
，根据等腰直角三角形的定义分三种情况：①当
时，先根据等腰直角三角形的*质、线段中点的点坐标求出点P的坐标，再代入抛物线
的表达式，检验点P是否在抛物线
的表达式上即可；②当
时，先根据平行四边形的判定得出四边形BCDP是平行四边形，再根据点C至点B的平移方式与点D至点P的平移方式相同可求出点P的坐标，然后代入抛物线
的表达式，检验点P是否在抛物线
的表达式上即可；③当
时，先根据等腰直角三角形的*质得出点P在在线段BD的垂直平分线上，再利用待定系数法求出BD的垂直平分线上所在直线的解析式，然后根据两点之间的距离公式和
可求出点P的坐标，最后代入抛物线
的表达式，检验点P是否在抛物线
的表达式上即可．
【详解】
（1）将点
代入抛物线
的表达式得：
解得
则抛物线
的表达式为
故抛物线
的表达式为
；
（2）①由二次函数的平移规律得：抛物线
的表达式为
即
联立
，解得
则点
的坐标为
；
②对于
当
时，
，解得
或
则点B的坐标为
当
时，
，则点C的坐标为
由两点之间的距离公式得：
则
，
故
是等腰直角三角形；
（3）抛物线
的表达式为
设点P的坐标为
由题意，分以下三种情况：
①当
时，
为等腰直角三角形
是等腰直角三角形，
，
点D是CP的中点
则
，解得
即点P的坐标为
对于抛物线
的表达式
当
时，
即点
在抛物线
上，符合题意
②当
时，
为等腰直角三角形
，
，
四边形BCDP是平行四边形
点C至点B的平移方式与点D至点P的平移方式相同
点C至点B的平移方式为先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度
即点P的坐标为
对于抛物线
的表达式
当
时，
即点
在抛物线
上，符合题意
③当
时，
为等腰直角三角形
则点P在线段BD的垂直平分线上
设直线BD的解析式
将点
代入得：
，解得
则直线BD的解析式
设BD的垂线平分线所在直线的解析式为
点
的中点的坐标为
，即
将点
代入
得：
，解得
则BD的垂线平分线所在直线的解析式为
因此有
，即点P的坐标为
由两点之间的距离公式得：
又
，
为等腰直角三角形
则
解得
或
当
时，
，即点P的坐标为
当
时，
，即点P的坐标为
对于抛物线
的表达式
当
时，
即点
不在抛物线
上，不符合题意，舍去
当
时，
即点
不在抛物线
上，不符合题意，舍去
综上，符合条件的点P的坐标为
或
．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移，点坐标的平移、等腰直角三角形的判定与*质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况，结合等腰直角三角形的*质是解题关键．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：综合题
