如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求...

问题详情：

如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．

【回答】

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）

∴   解得：

∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3

（2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4

∴顶点M（1，4）

∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20

设点P坐标为（0，p）

∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2

①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2

∴20+9+p2＝17﹣8p+p2

解得：p＝﹣

∴P（0，﹣）

②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2

∴9+p2+17﹣8p+p2＝20

解得：p1＝1，p2＝3

∴P（0，1）或（0，3）

③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2

∴20+17﹣8p+p2＝9+p2

解得：p＝

∴P（0，）

综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为直角三角形．

（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H

∵DG⊥x轴于点G

∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°

∴四边形IEGH是矩形

∵点I为△ADG的内心

∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG

∴矩形IEGH是正方形

设点I坐标为（m，n）

∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n

∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m

∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m

∵DA＝OA＝3

∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m

∴DG＝DH+HG＝m+n

∵DG2+AG2＝DA2

∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32

∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0

*得：（m﹣）2+（n+）2＝

∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为

∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动

∴当点I在线段CQ上时，CI最小

∵CQ＝

∴CI＝CQ﹣IQ＝

∴CI最小值为．

知识点：各地中考

题型：综合题