已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，﹣2），顶点为D，点E的...
问题详情：
已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，﹣2），顶点为D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线于BE交于另一点F，连接BC
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），点M在运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明利由．
【回答】
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）设交点式抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BE的解析式为y=
x﹣1，直线BC的解析式为y=
x﹣2，再解方程组
得F（
，﹣
）；接着确定H（1，﹣
），连接AH交BE于Q，如图1，利用点A和H的横坐标特征得到AH⊥x轴，所以Q（1，﹣
），然后利用三角形面积公式，利用S△FHB=S△BHQ+S△FHQ进行计算；
（3）先求出D（2，
），直线x=2交x轴于N，如图2，*Rt△OMN∽Rt△MBN得到MN2=BN•ON，即（t+
）2=1×2，然后解方程即可；
（4）如图3，BP交y轴于G，利用AB平分∠FBP得到点G与点E关于x轴对称，则G（0，1），再利用待定系数法求出直线BQ的解析式为y=﹣
x+1，然后解方程组
即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），
把C（0，﹣2）代入得a•（﹣1）•（﹣3）=﹣2，解得a=﹣
，
所以抛物线解析式为y=﹣
（x﹣1）（x﹣3），即y=﹣
x2+
x﹣2；
（2）设直线BE的解析式为y=mx+n，
把B（3，0），E（0，﹣1）代入得
，解得
，
∴直线BE的解析式为y=
x﹣1，
同样方法可求得直线BC的解析式为y=
x﹣2，
解方程组
得
或
，则F（
，﹣
）；
当x=1时，y=﹣2=﹣
，则H（1，﹣），
连接AH交BE于Q，如图1，∵A（1，0），H（1，﹣
），
∴AH⊥x轴，
∴Q（1，﹣），
∴HQ=﹣+=，
∴S△FHB=S△BHQ+S△FHQ=
×
×（3﹣
）=
；
（3）当x=2时，y=﹣x2+
x﹣2=
，则D（2，
），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
直线x=2交x轴于N，如图2，MN=t+
，ON=2，BN=1，
∵∠OMB=90°，即∠OMN+∠BMN=90°，
而∠OMN+∠MON=90°，
∴∠MON=∠BMN，
∴Rt△OMN∽Rt△MBN，
∴MN：BN=ON：MN，即MN2=BN•ON，
∴（t+
）2=1×2，解得t1=
﹣，t2=﹣
﹣（舍去），
∴当t为
﹣时，∠OMB=90°；
（4）存在．
如图3，BP交y轴于G，
∵AB平分∠FBP，
∴∠GBO=∠EOB，
∴点G与点E关于x轴对称，
∴G（0，1），
设直线BG的解析式为y=px+q，
把G（0，1），B（3，0）代入得
，解得
，
∴直线BQ的解析式为y=﹣
x+1，
解方程组
得
或
，
∴P点坐标为（
，
）．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：综合题
