如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0...

问题详情：

如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．

【回答】

【解答】解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，

解得：a=1，c=﹣8．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．

∵y=（x﹣1）2﹣9，

∴D（1，﹣9）．

（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，

∴B（4，0）．

∵y=（x﹣1）2﹣9，

∴抛物线的对称轴为x=1，

∴E（1，0）．

∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，

∴EP为∠BEF的角平分线．

∴∠BEP=45°．

设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，

∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．

将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．

∵点P在第四象限，[来源:学&科&网]

∴x=．

∴y=．

∴P（，）．

（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，

∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．

设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2．

∴直线BC的解析式为y=2x﹣8．

将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，

∴F（1，﹣6）．

设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．

当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．

∴点M的坐标为（﹣，）．

当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．

∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

综上所述，点M的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题