已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的...

问题详情：

已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）点F是线段AD上一个动点．

①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？

②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．

【回答】

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），

∴，解得：，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4

∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；

（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，

∴AC2＝OA2+OC2＝18，

∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），

∴CD2＝12+12＝2

∴AD2＝22+42＝20

∴AC2+CD2＝AD2

∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．

∵，

∴F为AD的中点，

∴，

∴．

②在Rt△ACD中，tan，

在Rt△OBC中，tan，

∴∠ACD＝∠OCB，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠FAO＝∠ACB，

若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：

当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，

∴OF∥BC，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∴，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，

∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，

设直线AD的解析式为y＝mx+n，

∴，解得：，

∴直线AD的解析式为y＝2x+6，

∴，解得：，

∴F（﹣）．

当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，

∵∠CAB＝45°，

∴OF⊥AC，

∴直线OF的解析式为y＝﹣x，

∴，解得：，

∴F（﹣2，2）．

综合以上可得F点的坐标为（﹣）或（﹣2，2）．

知识点：相似三角形

题型：综合题