如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)设(...
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如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)题中的抛物线上有一个动点P,当点P在抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标;
(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(﹣1,0),B(3,0),
∴
解得.
∴所求解析式为y=x2﹣2x﹣3.
(2)设点P的坐标为(x,y),
由题意:S△PAB=×4|y|=8,
∴|y|=4,
∴y=±4.
当y=4时,x2﹣2x﹣3=4,
∴x1=2+1,x2=﹣2+1;
当y=﹣4时,x2﹣2x﹣3=﹣4,∴x=1,
∴满足条件的点P有3个,
即(2+1,4),(﹣2+1,4),(1,﹣4).
(3)在抛物线对称轴上存在点Q,使△QAC的周长最小.
∵AC长为定值,
∴要使△QAC的周长最小,只需QA+QC最小,
∵点A关于对称轴直线x=1的对称点是(3,0),
∴Q是直线BC与对称轴直线x=1的交点,
设过点B,C的直线的解析式y=kx﹣3,把B(3,0)代入,
∴3k﹣3=0,
∴k=1,
∴直线BC的解析式为y=x﹣3,
把x=1代入上式,
∴y=﹣2,
∴Q点坐标为(1,﹣2).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题