如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解...

问题详情：

如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；

（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．

①求DE的最大值；

②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．

【回答】

解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0）

∴设交点式y＝a（x+1）（x+3）

∵OC＝OB＝3，点C在y轴负半轴

∴C（0，﹣3）

把点C代入抛物线解析式得：3a＝﹣3

∴a＝﹣1

∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x+3）＝﹣x2﹣4x﹣3

（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，过点P作PH⊥x轴于点H

∴∠AGB＝∠AGC＝∠PHO＝90°

∵∠ACB＝∠POB

∴△ACG∽△POH

∴

∴

∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°

∴∠ABC＝45°，BC＝＝3

∴△ABG是等腰直角三角形

∴AG＝BG＝AB＝

∴CG＝BC﹣BG＝3﹣＝2

∴

∴OH＝2PH

设P（p，﹣p2﹣4p﹣3）

①当p＜﹣3或﹣1＜p＜0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数

∴OH＝﹣p，PH＝﹣（﹣p2﹣4p﹣3）＝p2+4p+3

∴﹣p＝2（p2+4p+3）

解得：p1＝，p2＝

∴P（，）或（，）

②当﹣3＜p＜﹣1或p＞0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号

∴p＝2（p2+4p+3）

解得：p1＝﹣2，p2＝﹣

∴P（﹣2，1）或（﹣，）

综上所述，点P的坐标为（，）、（，）、（﹣2，1）或（﹣，）．

（3）①如图2，∵x＝m+4时，y＝﹣（m+4）2﹣4（m+4）﹣3＝﹣m2﹣12m﹣35

∴M（m，﹣m2﹣4m﹣3），N（m+4，﹣m2﹣12m﹣35）

设直线MN解析式为y＝kx+n

∴   解得：

∴直线MN：y＝（﹣2m﹣8）x+m2+4m﹣3

设D（d，﹣d2﹣4d﹣3）（m＜d＜m+4）

∵DE∥y轴

∴xE＝xD＝d，E（d，（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3）

∴DE＝﹣d2﹣4d﹣3﹣[（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3]＝﹣d2+（2m+4）d﹣m2﹣4m＝﹣[d﹣（m+2）]2+4

∴当d＝m+2时，DE的最大值为4．

②如图3，∵D、F关于点E对称

∴DE＝EF

∵四边形MDNF是矩形

∴MN＝DF，且MN与DF互相平分

∴DE＝MN，E为MN中点

∴xD＝xE＝＝m+2

由①得当d＝m+2时，DE＝4

∴MN＝2DE＝8

∴（m+4﹣m）2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣（﹣m2﹣4m﹣3）]2＝82

解得：m1＝﹣4﹣，m2＝﹣4+

∴m的值为﹣4﹣或﹣4+时，四边形MDNF为矩形．

知识点：各地中考

题型：综合题