已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；...

问题详情：

已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（2，0），B（﹣4，0），

∴，

解得，

∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；

（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），

∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP

＝+，

＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，

＝﹣x2﹣4x+12，

＝﹣（x+2）2+16．

∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，

∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，

此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．

因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．

（3），

∴顶点M（﹣1，﹣）．

如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．

设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），

∴，

∴直线AM的解析式为y＝﹣3．

在Rt△AOC中，＝2．

∵D为AC的中点，

∴，

∵△ADE∽△AOC，

∴，

∴，

∴AE＝5，

∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，

∴E（﹣3，0），

由图可知D（1，﹣2）

设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，

∴，解得：，

∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．

∴，解得：，

∴G（）．

知识点：勾股定理

题型：解答题