抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(,0),且与y轴相交于点C.(1)求这条抛物线的...
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问题详情:
抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.
【回答】
解:(1)当x=0,y=3,
∴C(0,3).
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣).
将C(0,3)代入得:﹣a=3,解得:a=﹣2,
∴抛物线的解析式为y=﹣2x2+x+3.
(2)过点B作BM⊥AC,垂足为M,过点M作MN⊥OA,垂足为N.
∵OC=3,AO=1,
∴tan∠CAO=3.
∴直线AC的解析式为y=3x+3.
∵AC⊥BM,
∴BM的一次项系数为﹣.
设BM的解析式为y=﹣x+b,将点B的坐标代入得:﹣×+b=0,解得b=.
∴BM的解析式为y=﹣x+.
将y=3x+3与y=﹣x+联立解得:x=﹣,y=.
∴MC=BM═=.
∴△MCB为等腰直角三角形.
∴∠ACB=45°.
(3)如图2所示:延长CD,交x轴与点F.
∵∠ACB=45°,点D是第一象限抛物线上一点,
∴∠ECD>45°.
又∵△DCE与△AOC相似,∠AOC=∠DEC=90°,
∴∠CAO=∠ECD.
∴CF=AF.
设点F的坐标为(a,0),则(a+1)2=32+a2,解得a=4.
∴F(4,0).
设CF的解析式为y=kx+3,将F(4,0)代入得:4k+3=0,解得:k=﹣.
∴CF的解析式为y=﹣x+3.
将y=﹣x+3与y=﹣2x2+x+3联立:解得:x=0(舍去)或x=.
将x=代入y=﹣x+3得:y=.
∴D(,).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题