如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线...
问题详情：
如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． 
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点p作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；
（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
【回答】
（1）解：把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3， 得到 
， 解得 
， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3． （2）解：如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3）， 
∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴OB=OC， ∴∠OBC=45°， ∵PF∥OB， ∴∠PFE=∠OBC=45°， ∵PE⊥BC， ∴∠PEF=90°， ∴△PEF是等腰直角三角形， ∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大， 则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC= 
•3•（﹣m2+2m+3）+ 
•3•m﹣ 
=﹣ 
（m﹣ 
）2+ 
， ∴m= 时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大， 此时P（ ，﹣ 
）， ∵直线BC的解析式为y=x﹣3， ∴F（﹣ 
，﹣ 
）， ∴PF= 
， ∵△PEF是等腰直角三角形， ∴EF=EP= 
， ∴C△PEF最大值= 
+ 
． （3）解：①如图2中， 
当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2， ②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴． 
易知△PFN≌△PEM， ∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3）， ∵M（1，﹣4）， ∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）， ∴m= 
或 
（舍弃）， ∴P点横坐标为 
所以满足条件的点P的横坐标为2或 ． 【考点】二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的判定与*质，正方形的判定与*质，轴对称的*质 【解析】分析：（1）把A，B两点坐标代入抛物线，即可求出此函数解析式。 （2）由B（3，0），C（0，﹣3）两点坐标，可得出△OBC是等腰直角三角形，根据已知PE⊥BC，PF∥x轴，可*得△PEF是等腰直角三角形，则PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，求出S△PBC与m的函数关系式，求出其顶点坐标，即可得到△PBC的面积最大时m的值，再求出直线BC的解析式，即可求得点F的坐标，求出PF、EF、EP的长，即可△PEF周长的最大值。 （3）①当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P点坐标；②当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，得到F=PE，建立方程，求解即可得到满足条件的点P的横坐标。
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：综合题
