如图,已知抛物线y=ax2+4x+c经过A(2,0)、B(0,﹣6)两点,其对称轴与x轴交于点C.(1)求该抛...
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如图,已知抛物线y=ax2+4x+c经过A(2,0)、B(0,﹣6)两点,其对称轴与x轴交于点C.
(1)求该抛物线和直线BC的解析式;
(2)设抛物线与直线BC相交于点D,求△ABD的面积;
(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAB的周长最小?若存在,求出Q点的坐标及△QAB最小周长;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)将A(2,0)、B(0,﹣6)代入抛物线解析式得:,
解得:,
故抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x﹣6,
其对称轴为:x=4,
故点C的坐标为(4,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,将点B、点C的坐标代入可得:,
解得:,
故直线BC的解析式为y=x﹣6;
(2)联立直线BC与抛物线的解析式:,
解得:或,
故点D的坐标为(5,),
则S△ABD=S△ACD+S△ABC=AC×D纵+AC×|B纵|=.
(3)存在点Q,使得△QAB的周长最小;
点A关于抛物线对称轴的对称点为A',连接A'B,则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置:
A'坐标为(6,0),B(0,﹣6),
设直线A'B的解析式为:y=mx+n,代入两点坐标可得:,
解得:,
即直线A'B的解析式为y=x﹣6,
故点Q的坐标为(4,﹣2).
即存在点Q的坐标(4,﹣2)时,使得△QAB的周长最小.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题