如图，四棱锥中，平面，，，.（Ｉ）*：；（Ⅱ）若是中点，与平面所成的角的正弦值为，求的长.
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问题详情：
如图，四棱锥
中，
平面
，
，
，
.
（Ｉ）*：
；
（Ⅱ）若
是
中点，
与平面
所成的角的正弦值为
，求
的长.
【回答】
（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）取
的中点
，连接
，由
，
，得
三点共线，且
，又
，再利用线面垂直的判定定理*.
（Ⅱ）设
，则
，
，在底面
中，
，在
中，由余弦定理得：
，在
中，由余弦定理得
，两式相加求得
，再过
作
，则
平面
，即点
到平面
的距离，由
是
中点，得到
到平面
的距离
，然后根据
与平面
所成的角的正弦值为
求解.
【详解】
（Ⅰ）取
的中点
，连接
，
由
，
，得
三点共线，
且
，又
，
，
所以
平面
，
所以
.
（Ⅱ）设
，
，
，
在底面
中，
，
在
中，由余弦定理得：
，
在
中，由余弦定理得
，
两式相加得：
，
所以
，
，
过
作
，则
平面
，
即点
到平面
的距离
，
因为
是
中点，所以为
到平面
的距离
，
因为
与平面
所成的角的正弦值为
，
即
，
解得
.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力，属于中档题.
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：解答题
